Cara Cepat Menyelesaikan Soal Polinomial dengan Newton Sums

Ok adik adik semua kali ini saya akan bahas beberapa soal yang tentu saja yang bisa dikatakan susah dalam materi polinomial ini dimana soal soal ini kerap kali keluar dalam olimipade matematika baik tingkat provinsi sampai dengan nasional tidak hanya itu akan kami hadirkan juga bagaimana metode pemecahan soal dengan mudah dan cepat kepada adik adik semuanya.

Berikut ini saya sajikan soal olimpiade matematika bab polinomial dan alternatif cara menyelesaikannya menggunakan metode Newton Sums.

Soal:


Diketahui:
x + y + z = 1
x² + y² + z² = 2
x³ + y³ + z³ = 3
Tentukan nilai dari x⁴ + y⁴ + z⁴ =??

Penyelesaian:

Menggunakan metode ekspansi

x+ y + z = 1
(x+y+z)² = 1²
x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz) = 1²
<=> 2 + 2(xy + xz + yz) = 1
<=> xy + xz + yz = -1/2.

(x + y + z) ³ = 1 ³
<=> x³ + y³ + z³ + 3(x²y + x²z + xy² + y²z + xz² + yz²) + 6xyz = 1³
<=> 3 + 3(x²y + x²z + xyz + xy² + y²z + xyz + xz² + yz² + xyz) – 3xyz = 1
<=> 3(x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)) – 3xyz = -2
<=> 3(x + y + z)(xy + xz + yz) – 3xyz = -2
<=> 3(1)(-1/2) – 3xyz = -2
<=> -3/2 + 2 = 3xyz
<=> 1/2 = 3xyz
<=> xyz = 1/6

(xy + xz + yz) ² = (-1/2) ²
<=> x²y² + x²z² + y²z² + 2(x²yz + xy²z + xyz²) = 1/4
<=> x²y² + x²z² + y²z² + 2xyz(x + y + z) = 1/4
<=> x²y² + x²z² + y²z² + 2(1/6)(1)= 1/4

<=> x²y² + x²z² + y²z² = 1/4 – 1/3 = -1/12

(x² + y² + z²) ² = 2 ²
<=> x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²)= 4
<=> x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(-1/12) = 4
<=> x⁴ + y⁴ + z⁴ = 4 + 1/6= 25/6

Menggunakan metode Newton Sums

Misalkan x,y,z adalah akar dari
f(t) = t³ + at² + bt + c = 0
Dari newton sum diperoleh
1 + a = 0
2 + a + 2b = 0
3 + 2a + b + 3c = 0
Sehingga
a = -1, b = -1/2, c = -1/6
sehingga
x⁴ + y⁴ + z⁴ = 1/6(1) + (1/2)(2) + (1)(3) = 25/6.

Contoh lain :

Soal 2:
Diketahui P(x) = x³ + 3x² + 4x – 8 akar-akarnya adalah r, s, dan t. Tentukan nilai dari r² + s² + t² dan r⁴ + s⁴ + t⁴ !

Penyelesaian:
Menggunakan Newton Sums didapat:
P1 + 3 = 0
P2 + 3P1 + 8 = 0
P3 + 3P2 + 4P1 – 24 = 0
P4 + 3P3 + 4P2 – 8P1 = 0

didapat nilai P1, P2, P3, dan Pberturut-turut = -3, 1, 33, dan -127.

Jadi nilai r² + s² + t² = P2 = 1, dan
r⁴ + s⁴ + t⁴ = P4 = -127.